Mohrscher Spannungskreis

Der Mohr’sche Spannungskreis oder kurz Mohr’sche Kreis, benannt nach Christian Otto Mohr, ist eine Möglichkeit, den 2D-Spannungszustand in einem Punkt eines Körpers zu veranschaulichen oder zu untersuchen, siehe Abbildung 1. Am Kreis kann beispielsweise abgelesen werden, in welchem Winkel β zur x-Achse die Hauptschubspannung τ_I und in welchem Winkel γ die Hauptspannungen σ_I,II auftreten, siehe dazu den Abschnitt Geometrische Zusammenhänge.

Neben dem Cauchy-Spannungstensor können auch andere symmetrische Tensoren mit dem Mohr’schen Kreis veranschaulicht oder untersucht werden, z. B. der Verzerrungstensor und der Trägheitstensor. Neben dem Mohr’schen Kreis gibt es auch andere Verfahren zur Veranschaulichung symmetrischer Tensoren, z. B. Ellipsoide wie Lamés Spannungsellipsoid oder Superquadriken, je nachdem der Tensor positiv definit ist oder nicht.

Seine Gleichung lautet im Spannungsraum, wo auf der Abszisse die Normalspannungen und auf der Ordinate die Schubspannungen aufgetragen sind:^[1]

${\displaystyle {\mathsf {(\sigma _{uu,vv}-\sigma _{m})^{2}+\sigma _{uv}^{2}=R^{2}}}}$

mit

${\displaystyle {\mathsf {\sigma _{m}}}={\mathsf {{\frac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})}}}$   und   ${\displaystyle {\mathsf {R}}={\mathsf {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2}}\right)^{2}+\sigma _{xy}^{2}}}}}$

Darin ist

• {σ_xx, σ_yy, σ_xy} ein gegebener Spannungszustand in der xy-Ebene, die zur Drehachse ê senkrecht ist, wie zum Beispiel im ebenen Spannungszustand mit Drehachse senkrecht zu seiner Ebene,
• {σ_uu, σ_vv, σ_uv} ist der Spannungszustand im uv-Koordinatensystem, dessen u- und v-Achsen wie in Abb. 2 um den Winkel α um ê gegenüber den x- bzw. y-Achsen verdreht sind, wobei der Drehsinn am Kreis dem in Abb. 2 entgegengesetzt ist,
• σ_m der Mittelpunkt des Kreises auf der Abszisse und
• R der Radius des Kreises.

Mohr führte den Spannungskreis 1882 ein,^[2][3] zu einer Zeit, als der Ingenieur noch mit dem Rechenschieber arbeitete und der Kreis somit ein nützliches Werkzeug darstellte.^[4]:391

1. ↑ Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag; kein Text angegeben für Einzelnachweis mit dem Namen gross.
2. ↑ Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag; kein Text angegeben für Einzelnachweis mit dem Namen mohr.
3. ↑ Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag; kein Text angegeben für Einzelnachweis mit dem Namen Kurrer.
4. ↑ Referenzfehler: Ungültiges <ref>-Tag; kein Text angegeben für Einzelnachweis mit dem Namen dankert.